在数学中，向量是一个重要的概念，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在物理学、工程学等领域也有着不可或缺的地位。为了更好地理解和应用向量，我们引入了向量的坐标表示方法，并通过这种表示方法来实现向量的各种运算。

首先，让我们回顾一下向量的基本定义。向量是具有大小和方向的量，可以用箭头来表示。在二维空间中，一个向量可以由两个分量（x, y）来描述；而在三维空间中，则需要三个分量（x, y, z）。这些分量实际上就是向量在各坐标轴上的投影值。

接下来，我们将探讨如何用坐标表示法来进行向量的加法、减法以及数乘等基本运算。

一、向量的加法与减法

假设我们有两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，那么它们的和C可以通过将对应坐标的数值相加得到：

\[ C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂) \]

类似地，两者的差D也可以通过对应坐标的数值相减获得：

\[ D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂) \]

这种基于坐标的计算方式使得复杂的几何问题能够转化为简单的代数运算，极大地简化了解题过程。

二、向量的数量积

除了上述的基本运算之外，向量之间还存在一种非常重要的关系——数量积。对于任意两个向量A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，其数量积定义为：

\[ A·B = x₁x₂ + y₁y₂ \]

这个结果不仅反映了两个向量之间的角度信息，还可以用来判断两向量是否垂直（当且仅当A·B=0时）。

三、向量的模长

最后值得一提的是向量的模长计算公式。如果已知某个向量A(x₁, y₁)，那么它的模长|A|可以通过以下公式求得：

\[ |A| = \sqrt{x₁^2 + y₁^2} \]

以上便是关于向量坐标表示及其运算的一些基础知识介绍。掌握好这些内容后，你就能更加轻松地处理各种涉及向量的实际问题了！