在数学学习中，对数函数是一个重要的知识点，它不仅在理论研究中有广泛的应用，在实际问题解决中也扮演着关键角色。为了帮助大家更好地理解和掌握这一部分内容，下面将通过一些精选习题和详细的解答过程来加深理解。

一、基础知识回顾

首先，让我们简单回顾一下对数函数的基本概念：

- 如果 \(a^x = N\) （其中 \(a > 0\) 且 \(a \neq 1\)），那么 \(x = \log_a N\) 称为以 \(a\) 为底 \(N\) 的对数。

- 常见的两种对数形式是自然对数（以 \(e\) 为底）和常用对数（以 \(10\) 为底）。

二、典型习题解析

例题1：

计算 \(\log_2 8\)

解析：根据定义，\(2^x = 8\)，我们知道 \(2^3 = 8\)，所以 \(x=3\)。因此，\(\log_2 8 = 3\)。

例题2：

求解方程 \(\log_3 (x+1) = 2\)

解析：由对数定义可知，若 \(\log_a b = c\)，则 \(a^c = b\)。因此，我们有 \(3^2 = x + 1\)，即 \(9 = x + 1\)，从而得出 \(x = 8\)。

例题3：

证明等式 \(\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)\)

解析：设 \(\log_a M = p\) 和 \(\log_a N = q\)，则 \(M = a^p\) 且 \(N = a^q\)。于是 \(MN = a^p \cdot a^q = a^{p+q}\)，这意味着 \(\log_a (MN) = p + q\)，即 \(\log_a M + \log_a N = \log_a (MN)\) 成立。

三、练习巩固

1. 计算 \(\log_5 125\)。

2. 求解方程 \(\log_4 (x-2) = 3\)。

3. 验证公式 \(\log_a M - \log_a N = \log_a \left(\frac{M}{N}\right)\) 是否成立。

通过以上题目及其解答，我们可以看到对数函数的核心在于其运算规则以及如何将其转化为指数形式进行求解。希望这些练习能够帮助你更加熟练地运用对数函数的知识点。继续深入探索更多复杂的题目，相信你的数学能力会有显著提升！