在数学分析中，施笃兹（Stolz）公式是一种非常实用的工具，它主要用于处理数列极限的问题。这个公式类似于洛必达法则，但适用于离散的情况，即处理数列极限问题时更为有效。
施笃兹公式的表述
假设我们有两个数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\)，其中 \(\{b_n\}\) 是严格递增且趋于无穷的数列，并且满足以下条件：
1. 数列 \(\{a_n\}\) 和 \(\{b_n\}\) 的每一项都是实数。
2. 数列 \(\{b_n\}\) 是严格递增的，即 \(b_{n+1} > b_n\) 对所有 \(n\) 成立。
3. 数列 \(\{b_n\}\) 趋于无穷大，即 \(\lim_{n \to \infty} b_n = \infty\)。
4. 极限 \(\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}\) 存在或为无穷大。
那么，根据施笃兹公式，有：
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n}
\]
施笃兹公式的应用
施笃兹公式在处理一些复杂的数列极限问题时显得尤为有效。下面通过几个例子来说明其应用。
例1：计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{n^2 + n}{2n^2 + 3n + 1}\)
这是一个典型的分式形式的数列极限问题。我们可以直接应用施笃兹公式来简化计算过程。
首先，令 \(a_n = n^2 + n\) 和 \(b_n = 2n^2 + 3n + 1\)。然后计算 \(a_{n+1} - a_n\) 和 \(b_{n+1} - b_n\)：
\[
a_{n+1} - a_n = [(n+1)^2 + (n+1)] - [n^2 + n] = 2n + 2
\]
\[
b_{n+1} - b_n = [2(n+1)^2 + 3(n+1) + 1] - [2n^2 + 3n + 1] = 4n + 5
\]
因此，
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 2}{4n + 5} = \frac{1}{2}
\]
所以，原极限为 \(\frac{1}{2}\)。
例2：计算 \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2}\)
这里我们需要计算一个和式的极限。设 \(a_n = \sum_{k=1}^n k\) 和 \(b_n = n^2\)。首先计算 \(a_{n+1} - a_n\) 和 \(b_{n+1} - b_n\)：
\[
a_{n+1} - a_n = \sum_{k=1}^{n+1} k - \sum_{k=1}^n k = n + 1
\]
\[
b_{n+1} - b_n = (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1
\]
因此，
\[
\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{2n + 1} = \frac{1}{2}
\]
所以，原极限为 \(\frac{1}{2}\)。
总结
施笃兹公式是处理数列极限问题的一个重要工具，尤其在处理分式形式的极限时非常有效。通过将复杂的问题转化为简单的差商形式，可以大大简化计算过程。掌握这一公式不仅能够提高解题效率，还能加深对极限概念的理解。
