量子力学作为现代物理学的重要分支，是研究微观粒子运动规律的理论体系。在学习量子力学的过程中，练习题是帮助我们巩固知识和提高解题能力的关键环节。本文将提供一些典型的量子力学练习题及其详细解答，旨在帮助读者更好地理解和掌握这一领域的核心概念。
练习题一：薛定谔方程的应用
题目描述：一个粒子被限制在一个一维无限深势阱中，宽度为 \(a\)。假设粒子处于基态，求其波函数 \(\psi(x)\) 和能量 \(E_1\) 的表达式。
解答过程：
根据薛定谔方程，粒子的波函数满足以下条件：
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} + V(x)\psi(x) = E\psi(x)
\]
在无限深势阱中，势能 \(V(x)\) 满足：
\[
V(x) =
\begin{cases}
0, & 0 < x < a \\
\infty, & x \leq 0 \text{ 或 } x \geq a
\end{cases}
\]
因此，波函数在势阱内满足自由粒子的薛定谔方程：
\[
-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x)
\]
通过分离变量法，可得通解为：
\[
\psi(x) = A\sin(kx) + B\cos(kx), \quad k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}
\]
由于波函数必须在边界处归零（即 \(\psi(0) = 0\) 和 \(\psi(a) = 0\)），可以确定系数 \(B = 0\) 和 \(k = n\pi/a\)，其中 \(n\) 是正整数。基态对应 \(n = 1\)，因此：
\[
\psi_1(x) = \sqrt{\frac{2}{a}}\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)
\]
基态能量为：
\[
E_1 = \frac{\hbar^2\pi^2}{2ma^2}
\]
练习题二：不确定性原理的应用
题目描述：一个粒子的位置测量精度为 \(\Delta x = 0.1 \, \text{nm}\)，求该粒子动量的最小不确定度 \(\Delta p\)。
解答过程：
根据海森堡不确定性原理：
\[
\Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2}
\]
代入已知条件 \(\Delta x = 0.1 \times 10^{-9} \, \text{m}\)，可得：
\[
\Delta p \geq \frac{\hbar}{2\Delta x} = \frac{1.054 \times 10^{-34}}{2 \times 0.1 \times 10^{-9}} \approx 5.27 \times 10^{-26} \, \text{kg·m/s}
\]
因此，动量的最小不确定度为：
\[
\Delta p_{\text{min}} = 5.27 \times 10^{-26} \, \text{kg·m/s}
\]
练习题三：谐振子的能量本征值
题目描述：一个一维谐振子的质量为 \(m\)，力常数为 \(k\)。求其第 \(n\) 个能量本征值 \(E_n\) 的表达式。
解答过程：
一维谐振子的能量本征值公式为：
\[
E_n = \hbar\omega\left(n + \frac{1}{2}\right), \quad n = 0, 1, 2, \dots
\]
其中，角频率 \(\omega = \sqrt{k/m}\)。将 \(\omega\) 代入公式，可得：
\[
E_n = \hbar\sqrt{\frac{k}{m}}\left(n + \frac{1}{2}\right)
\]
以上三道练习题涵盖了量子力学中的几个经典问题，包括无限深势阱、不确定性原理和谐振子等。希望这些解答能够帮助大家加深对量子力学的理解，并在实际应用中灵活运用相关知识。如果还有其他疑问，欢迎进一步探讨！
总结：量子力学是一门充满挑战但极具魅力的学科，通过不断练习和思考，我们可以逐步揭开微观世界的奥秘。
