在初中数学中，一次函数是函数学习的重要起点，也是后续学习二次函数、反比例函数等的基础。掌握好一次函数的相关知识，对于理解函数的基本概念和图像特征具有重要意义。本文将通过几道典型的例题，帮助同学们深入理解一次函数的定义、性质及其应用。
一、例题1：判断是否为一次函数
题目：
下列函数中，哪些是一次函数？请说明理由。
- （1）y = 3x + 2
- （2）y = x² + 1
- （3）y = 5
- （4）y = -2x
- （5）y = 3/x
解析：
一次函数的一般形式为：y = kx + b（k ≠ 0），其中k为斜率，b为截距。
- （1）y = 3x + 2：符合一次函数的形式，k=3≠0，是一次函数。
- （2）y = x² + 1：含有x的平方项，属于二次函数，不是一次函数。
- （3）y = 5：可以看作y = 0x + 5，虽然形式上符合，但k=0，不符合“k≠0”的条件，因此不是一次函数。
- （4）y = -2x：符合一次函数的形式，k=-2≠0，是一次函数。
- （5）y = 3/x：含有分母x，属于反比例函数，不是一次函数。
结论： 一次函数是形如y = kx + b（k≠0）的函数，必须满足k不为零且不含x的高次项或分式形式。
二、例题2：求一次函数的表达式
题目：
已知某一次函数的图象经过点A(2, 5)和B(-1, -1)，求该函数的表达式。
解析：
设该一次函数为y = kx + b。
将点A(2, 5)代入得：
5 = 2k + b——（1）
将点B(-1, -1)代入得：
-1 = -k + b——（2）
联立方程组：
由（1）得：b = 5 - 2k
代入（2）得：
-1 = -k + (5 - 2k)
-1 = 5 - 3k
-6 = -3k
k = 2
代入b = 5 - 2k 得：
b = 5 - 4 = 1
所以，该一次函数的表达式为：
y = 2x + 1
验证：
当x=2时，y=2×2+1=5；当x=-1时，y=2×(-1)+1=-1，与题意一致。
三、例题3：一次函数的图像与性质
题目：
已知一次函数y = -3x + 6，回答以下问题：
1. 图像经过哪些象限？
2. 当x增大时，y如何变化？
3. 求该函数与x轴、y轴的交点坐标。
解析：
该函数为y = -3x + 6，其中k = -3 < 0，b = 6 > 0。
1. 图像经过的象限：
因为k < 0，函数从左向右下降；b > 0，说明图像与y轴交于正半轴。因此，图像经过第一、第二、第四象限。
2. x增大时，y的变化：
由于k = -3 < 0，函数呈递减趋势，即当x增大时，y会减小。
3. 与坐标轴的交点：
- 与x轴交点：令y = 0，解方程0 = -3x + 6 → x = 2，交点为(2, 0)。
- 与y轴交点：令x = 0，解得y = 6，交点为(0, 6)。
四、例题4：一次函数的实际应用
题目：
某快递公司规定：首重10元，每增加1公斤加收2元。设邮寄物品重量为x公斤（x≥0），总费用为y元，写出y关于x的函数关系式，并求出邮寄5公斤的费用。
解析：
根据题意，总费用y由两部分组成：首重10元 + 超重部分的费用。
若x ≤ 1公斤，则y = 10元；
若x > 1公斤，则y = 10 + 2(x - 1) = 2x + 8。
因此，函数关系式为：
y = 2x + 8（x ≥ 0）
当x = 5时，
y = 2×5 + 8 = 10 + 8 = 18元
总结
通过以上几个典型例题可以看出，一次函数的学习需要掌握其基本形式、图像特征以及实际应用。在解题过程中，注意区分一次函数与其他类型的函数，如二次函数、反比例函数等，同时要结合图像进行分析，提升对函数变化规律的理解能力。
希望同学们在练习中不断巩固基础知识，提高解题技巧，为今后更复杂的函数学习打下坚实基础。
