在数值计算中，求解线性方程组是常见的任务之一。对于大型或稀疏矩阵来说，直接求解方法如高斯消元法可能效率不高，因此迭代法成为一种更实用的选择。其中，雅克比迭代法和高斯-赛德迭代法是两种经典的迭代算法，广泛应用于实际问题的求解中。

雅克比迭代法是一种基于矩阵分解的迭代方法，其基本思想是将系数矩阵A分解为对角矩阵D、严格下三角矩阵L和严格上三角矩阵U，即A = D - L - U。然后，将原方程组Ax = b转化为x = D⁻¹(L + U)x + D⁻¹b的形式，并通过不断迭代来逼近解。该方法的优点在于实现简单，适合并行计算，但收敛速度相对较慢，尤其当矩阵的对角占优性不强时，可能无法保证收敛。

相比之下，高斯-赛德迭代法则在每次迭代中利用了最新的近似值，从而提高了收敛速度。它的公式为x^(k+1) = (D - L)⁻¹Ux^(k) + (D - L)⁻¹b。由于在计算每个分量时使用的是已经更新的前一个分量，因此通常比雅克比法更快地接近真实解。然而，这种方法对初始猜测较为敏感，且在某些情况下仍可能出现发散现象。

为了验证这两种方法的有效性，可以通过具体例子进行比较。例如，考虑一个简单的三阶线性方程组：

2x₁ - x₂ + x₃ = 4

-x₁ + 3x₂ - x₃ = 5

x₁ - x₂ + 4x₃ = 6

使用雅克比迭代法时，首先将方程改写为：

x₁ = (4 + x₂ - x₃)/2

x₂ = (5 + x₁ + x₃)/3

x₃ = (6 - x₁ + x₂)/4

设定初始猜测x₀ = [0, 0, 0]，依次代入计算新的近似值，直到满足预设的精度要求。而高斯-赛德迭代法则在计算x₁后立即使用其新值去计算x₂，再用x₁和x₂的新值计算x₃，从而加快收敛过程。

总体而言，雅克比迭代法和高斯-赛德迭代法各有优劣。前者结构简单、易于实现，但收敛较慢；后者利用最新信息，收敛更快，但实现稍复杂。在实际应用中，应根据问题的具体情况选择合适的算法，并适当调整参数以提高求解效率和稳定性。