【排列组合典型例题大全】排列组合是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于概率、统计、计算机科学等领域。掌握排列组合的基本原理和解题技巧，对于解决实际问题具有重要意义。本文将为大家整理一些排列组合的典型例题，并附上详细的解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点。
一、基础概念回顾
在开始做题之前，先回顾一下排列与组合的基本定义：
- 排列（Permutation）：从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序排成一列，称为排列。排列数记作 $ P(n, m) = \frac{n!}{(n-m)!} $。
- 组合（Combination）：从n个不同元素中取出m个元素，不考虑顺序，称为组合。组合数记作 $ C(n, m) = \frac{n!}{m!(n-m)!} $。
二、典型例题解析
例题1：选人组队
某班有6名男生和4名女生，现要从中选出3人组成一个小组，要求至少有1名女生。问有多少种不同的选法？
解析：
总的选法为从10人中选3人：
$$
C(10, 3) = \frac{10!}{3!7!} = 120
$$
其中不满足条件的情况是全部为男生：
$$
C(6, 3) = \frac{6!}{3!3!} = 20
$$
因此，符合条件的选法为：
$$
120 - 20 = 100
$$
答案：100种
例题2：座位安排
有5个人要坐在一排5个位置上，其中甲不能坐在最左边，乙不能坐在最右边。问有多少种不同的坐法？
解析：
总共有 $ 5! = 120 $ 种坐法。
我们用排除法来计算不符合条件的情况：
- 甲坐在最左边的坐法：
剩下4人任意排列：$ 4! = 24 $
- 乙坐在最右边的坐法：
剩下4人任意排列：$ 4! = 24 $
- 甲在左且乙在右的坐法：
剩下3人任意排列：$ 3! = 6 $
根据容斥原理，不符合条件的坐法为：
$$
24 + 24 - 6 = 42
$$
因此，符合条件的坐法为：
$$
120 - 42 = 78
$$
答案：78种
例题3：数字排列
由数字1、2、3、4、5可以组成多少个没有重复数字的三位数？其中能被5整除的有多少个？
解析：
- 三位数的总数：
第一位有5种选择，第二位有4种，第三位有3种：
$$
5 \times 4 \times 3 = 60
$$
- 能被5整除的三位数：
必须以5结尾，即第三位是5。
第一位有4种选择（1-4），第二位有3种选择：
$$
4 \times 3 = 12
$$
答案：60个三位数，其中12个能被5整除
例题4：分组问题
有10个相同的球，要分成3组，每组至少有一个球。问有多少种不同的分法？
解析：
这是一个“隔板法”问题。把10个球排成一行，要在中间插入两个隔板，将它们分成3组。
共有9个空隙，选2个放隔板：
$$
C(9, 2) = \frac{9!}{2!7!} = 36
$$
答案：36种分法
三、常见误区与注意事项
1. 区分排列与组合：是否考虑顺序是关键。若题目中有“顺序”、“排法”等关键词，通常使用排列；若只是“选取”或“组合”，则用组合。
2. 注意特殊限制条件：如某些人不能坐在一起、某些位置不能选等，需使用排除法或分类讨论。
3. 合理运用容斥原理：当涉及多个限制条件时，避免重复计算。
四、总结
排列组合虽然看似简单，但在实际应用中常常需要灵活运用各种方法。通过多做练习、分析题型，能够有效提升解题能力。希望本文提供的例题和解析对大家的学习有所帮助。
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