【《微积分》公式大全】微积分作为数学中极为重要的分支，广泛应用于物理、工程、经济学、计算机科学等多个领域。掌握微积分的基本公式和概念，是理解和应用这一学科的关键。本文将系统整理并介绍微积分中常见的基本公式，帮助读者更好地理解和运用这些知识。
一、导数与微分公式
导数是微积分的核心概念之一，用于描述函数在某一点的变化率。以下是常见函数的导数公式：
1. 常数函数
$$
\frac{d}{dx}(C) = 0
$$
2. 幂函数
$$
\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}
$$
3. 指数函数
$$
\frac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a,\quad \frac{d}{dx}(e^x) = e^x
$$
4. 对数函数
$$
\frac{d}{dx}(\log_a x) = \frac{1}{x \ln a},\quad \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数
$$
\frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x,\quad \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x
$$
$$
\frac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x,\quad \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数
$$
\frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},\quad \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
$$
\frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、积分公式
积分是导数的逆运算，用于计算面积、体积、平均值等。以下是一些常见的不定积分和定积分公式：
1. 基本积分公式
$$
\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)
$$
$$
\int e^x dx = e^x + C,\quad \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C
$$
$$
\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C,\quad \int \sin x dx = -\cos x + C
$$
$$
\int \cos x dx = \sin x + C,\quad \int \sec^2 x dx = \tan x + C
$$
2. 换元积分法
若 $ u = g(x) $，则：
$$
\int f(g(x))g'(x) dx = \int f(u) du
$$
3. 分部积分法
$$
\int u dv = uv - \int v du
$$
4. 常见函数的积分
$$
\int \frac{1}{x^2 + a^2} dx = \frac{1}{a} \arctan\left( \frac{x}{a} \right) + C
$$
$$
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \arcsin\left( \frac{x}{a} \right) + C
$$
三、微分方程基础
微分方程是包含未知函数及其导数的方程，常见类型包括：
1. 一阶线性微分方程
$$
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
$$
解为：
$$
y = \frac{1}{\mu(x)} \left( \int \mu(x) Q(x) dx + C \right)
$$
其中 $\mu(x) = e^{\int P(x) dx}$ 是积分因子。
2. 可分离变量方程
$$
\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)
$$
可转化为：
$$
\int \frac{1}{g(y)} dy = \int f(x) dx
$$
四、泰勒展开与麦克劳林展开
泰勒级数是用无穷级数表示函数的一种方法，形式如下：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^n
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n
$$
常见函数的展开式：
- $ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $
- $ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $
- $ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $
五、多元微积分基础
1. 偏导数
对多变量函数 $ f(x, y) $，其关于 $ x $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x, y)}{h}
$$
2. 全微分
$$
df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy
$$
3. 梯度
向量场 $ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) $
4. 多重积分
二重积分：
$$
\iint_R f(x, y) dA = \int_{a}^{b} \int_{c}^{d} f(x, y) dy dx
$$
结语
微积分不仅是一门数学工具，更是理解世界变化规律的重要手段。掌握上述公式和概念，能够帮助我们在实际问题中进行建模、分析与求解。希望本文能为初学者或复习者提供一份清晰、全面的参考指南。
