【x的n次方lnx的不定积分】在微积分中，求解函数 $ x^n \ln x $ 的不定积分是一个常见的问题。这类积分通常需要使用分部积分法（Integration by Parts），因为直接积分较为复杂。本文将总结该类积分的通用方法，并通过表格形式展示不同 $ n $ 值下的积分结果。
一、基本思路
对于函数 $ x^n \ln x $，我们可以通过分部积分法来求其不定积分。设：
- $ u = \ln x $，则 $ du = \frac{1}{x} dx $
- $ dv = x^n dx $，则 $ v = \frac{x^{n+1}}{n+1} $（其中 $ n \neq -1 $）
根据分部积分公式：
$$
\int x^n \ln x \, dx = uv - \int v \, du = \ln x \cdot \frac{x^{n+1}}{n+1} - \int \frac{x^{n+1}}{n+1} \cdot \frac{1}{x} dx
$$
化简得：
$$
= \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x - \frac{1}{n+1} \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \ln x - \frac{x^{n+1}}{(n+1)^2} + C
$$
最终结果为：
$$
\int x^n \ln x \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \left( \ln x - \frac{1}{n+1} \right) + C
$$
二、常见 $ n $ 值的积分结果（表格）
| n | 积分结果 |
| 0 | $ x(\ln x - 1) + C $ |
| 1 | $ \frac{x^2}{2} (\ln x - \frac{1}{2}) + C $ |
| 2 | $ \frac{x^3}{3} (\ln x - \frac{1}{3}) + C $ |
| 3 | $ \frac{x^4}{4} (\ln x - \frac{1}{4}) + C $ |
| 4 | $ \frac{x^5}{5} (\ln x - \frac{1}{5}) + C $ |
| -2 | $ \frac{x^{-1}}{-1} (\ln x - \frac{1}{-1}) + C = -\frac{1}{x} (\ln x + 1) + C $ |
> 注意：当 $ n = -1 $ 时，原式变为 $ \frac{\ln x}{x} $，此时不能使用上述公式，需单独处理。
三、小结
- 对于 $ x^n \ln x $ 的不定积分，一般采用分部积分法。
- 结果可以表示为：
$$
\int x^n \ln x \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} \left( \ln x - \frac{1}{n+1} \right) + C
$$
- 当 $ n = -1 $ 时，需另寻方法处理。
- 不同 $ n $ 值下，积分结果具有规律性，便于记忆与应用。
如需进一步探讨特殊情形或拓展应用，可结合具体题目进行分析。
以上就是【x的n次方lnx的不定积分】相关内容，希望对您有所帮助。
