在物理学和工程学中，转动惯量是一个重要的概念，它描述了物体绕某一轴旋转时的惯性大小。对于一个圆环截面来说，其转动惯量的计算涉及到几何形状和质量分布等因素。

首先，我们需要明确圆环的基本参数。假设我们有一个圆环，其内半径为\( r_1 \)，外半径为\( r_2 \)，并且该圆环的质量均匀分布，总质量为\( m \)。我们的目标是求出这个圆环绕其中心轴的转动惯量。

根据转动惯量的定义，我们可以将其视为所有微小质量元到旋转轴距离平方乘以其质量的积分。对于一个均匀密度的圆环，其体积可以表示为环形区域的面积乘以厚度\( t \)，即：

\[ V = \pi (r_2^2 - r_1^2)t \]

由于密度\( \rho \)等于总质量除以体积，我们有：

\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi (r_2^2 - r_1^2)t} \]

接着，考虑一个微小质量元\( dm \)，它可以表示为：

\[ dm = \rho dA = \frac{m}{\pi (r_2^2 - r_1^2)t} \cdot 2\pi r dr \]

这里，\( dA = 2\pi r dr \)是环形区域的一个微小面积元素。

因此，圆环绕中心轴的转动惯量\( I \)可以通过以下积分得到：

\[ I = \int r^2 dm = \int_{r_1}^{r_2} r^2 \cdot \frac{m}{\pi (r_2^2 - r_1^2)t} \cdot 2\pi r dr \]

简化后得到：

\[ I = \frac{2mr^3}{(r_2^2 - r_1^2)t} \Big|_{r_1}^{r_2} \]

进一步计算得出：

\[ I = \frac{1}{2} m (r_2^2 + r_1^2) \]

这就是圆环绕其中心轴的转动惯量公式。通过这个公式，我们可以方便地计算不同尺寸和质量的圆环的转动惯量。

理解并掌握这一概念有助于解决实际问题，例如设计机械结构、分析运动特性等。希望本文能帮助您更好地理解和应用这一知识点。