在概率论与数理统计中，随机变量是一个非常重要的概念。它将随机事件的结果映射为数值，从而使得我们能够用数学工具对其进行分析和研究。随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量两大类，它们各自具有不同的性质和分布形式。

首先，离散型随机变量是指其取值是有限个或可列无限多个的随机变量。例如，掷骰子得到的点数就是一个典型的离散型随机变量，它的可能取值为1到6。对于这类随机变量，我们通常使用概率质量函数（PMF）来描述其概率分布。PMF给出了随机变量取每个特定值的概率。例如，对于一个公平的六面骰子，每个点数出现的概率都是1/6。

接着，连续型随机变量是指其取值可以是某一区间内的任意实数的随机变量。例如，测量某物体的长度时，由于测量工具的精度限制，实际长度可能落在某个范围内，而不是精确的整数值。对于连续型随机变量，我们使用概率密度函数（PDF）来描述其概率分布。需要注意的是，概率密度函数本身并不表示概率，而是通过积分可以得到随机变量落在某一区间的概率。

此外，在研究随机变量时，累积分布函数（CDF）也是一个不可或缺的工具。无论是离散型还是连续型随机变量，其累积分布函数都可以用来表示随机变量小于或等于某个特定值的概率。累积分布函数的优点在于它可以统一处理离散型和连续型随机变量，并且提供了关于随机变量分布的全面信息。

除了上述基本概念外，还有一些常见的概率分布需要特别注意。比如，二项分布适用于描述一系列独立重复试验中成功次数的概率分布；泊松分布则常用于描述单位时间内发生某事件的次数；正态分布则是自然界和社会科学中最常见的连续型概率分布之一。这些分布各有特点，适用场景也有所不同，在实际应用中选择合适的分布模型至关重要。

总之，随机变量及其分布构成了概率论的核心内容，为我们理解和预测不确定现象提供了强有力的理论基础。掌握好随机变量的概念及其相关的分布特性，不仅有助于解决实际问题，还能为进一步学习更高级别的统计方法打下坚实的基础。