第一部分：选择题

1. 设函数 $ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，则以下哪个选项是该函数在区间 $[0, 2]$ 上的最大值？

A. $ f(0) = 1 $

B. $ f(1) = -1 $

C. $ f(2) = 3 $

D. $ f(1/2) = 1/8 $

2. 若数列 $\{a_n\}$ 满足 $ a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1 $，且 $ a_1 = 2 $，则 $\lim_{n \to \infty} a_n$ 的值为：

A. $ 1 $

B. $ 2 $

C. $ 3 $

D. $ 4 $

3. 设函数 $ g(x) = \ln(x^2 + 1) $，则其导数 $ g'(x) $ 为：

A. $ \frac{2x}{x^2 + 1} $

B. $ \frac{x}{x^2 + 1} $

C. $ \frac{2x}{x^2 - 1} $

D. $ \frac{x}{x^2 - 1} $

第二部分：填空题

4. 若函数 $ h(x) = e^{x^2} $，则其二阶导数 $ h''(x) = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ $。

5. 设 $ \int_0^1 x^n dx = \frac{1}{n+1} $，则当 $ n \to \infty $ 时，$\int_0^1 x^n dx \to \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。

6. 若函数 $ f(x) = \sin(x) $ 在区间 $[0, \pi]$ 上展开为傅里叶级数，则其常数项系数为 $\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。

第三部分：解答题

7. 证明：若函数 $ f(x) $ 在区间 $[a, b]$ 上连续，则存在一点 $ c \in [a, b] $ 使得 $ f(c) = \frac{f(a) + f(b)}{2} $。

8. 计算积分：

$$

\int_0^\infty \frac{\sin x}{x} dx

$$

9. 设函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 3 $，试确定其在区间 $[1, 3]$ 上的最小值，并给出详细过程。

参考答案

1. C

2. A

3. A

4. $ (2x^2 + 2)e^{x^2} $

5. $ 0 $

6. $ 0 $

7. 利用介值定理即可证明。

8. $\frac{\pi}{2}$

9. 最小值为 $-1$，在 $x=2$ 处取得。

希望这份模拟试题能够帮助大家更好地复习和巩固《数学分析续论》的相关知识点！