在数学学习中,绝对值是一个非常基础且重要的概念。它不仅贯穿于初中和高中的数学课程,还广泛应用于物理、工程等领域。为了帮助大家更好地理解绝对值的相关知识点,本文将通过几道经典习题,详细讲解绝对值的概念及其解题方法,并提供详细的答案与解析。
习题一:基本定义与性质
题目:
已知 $|x - 3| = 5$,求 $x$ 的值。
解析:
根据绝对值的定义,$|a| = b$ 表示 $a$ 到零的距离为 $b$,因此可以分为两种情况:
1. 当 $x - 3 \geq 0$ 时,$|x - 3| = x - 3 = 5$,解得 $x = 8$。
2. 当 $x - 3 < 0$ 时,$|x - 3| = -(x - 3) = 5$,解得 $x = -2$。
综上所述,$x$ 的两个可能值分别为 $8$ 和 $-2$。
习题二:不等式问题
题目:
解不等式 $|2x + 1| < 7$。
解析:
绝对值不等式的解法通常需要分段讨论。根据定义,$|a| < b$ 等价于 $-b < a < b$。因此,
$$
-7 < 2x + 1 < 7
$$
接下来解这个双区间不等式:
1. 解 $2x + 1 > -7$,得到 $x > -4$;
2. 解 $2x + 1 < 7$,得到 $x < 3$。
综合两部分,解集为 $-4 < x < 3$。
习题三:函数图像分析
题目:
画出函数 $y = |x^2 - 4|$ 的图像,并确定其值域。
解析:
首先分析函数的表达式。由于绝对值的作用,$y = |x^2 - 4|$ 可以拆分为:
$$
y =
\begin{cases}
x^2 - 4, & x^2 \geq 4 \\
4 - x^2, & x^2 < 4
\end{cases}
$$
绘制图像时,注意分段处理:
1. 当 $x^2 \geq 4$(即 $x \leq -2$ 或 $x \geq 2$),曲线为抛物线 $y = x^2 - 4$;
2. 当 $x^2 < 4$(即 $-2 < x < 2$),曲线为抛物线 $y = 4 - x^2$。
结合图像可以看出,函数的最低点出现在 $x = 0$ 处,此时 $y = 4$;最高点出现在无穷远处,因此值域为 $[0, +\infty)$。
总结
通过对以上三道习题的解答,我们可以看到绝对值问题的核心在于分类讨论和灵活运用其定义与性质。希望这些例子能够帮助大家加深对绝对值的理解,并在实际解题中更加得心应手!
如果你还有其他关于绝对值的问题或练习,欢迎继续交流探讨!