在学习复变函数与积分变换这门课程时，习题是巩固理论知识的重要手段。通过解题，我们可以更好地理解复数的基本性质、解析函数的概念以及各种积分变换方法的应用。下面是一些典型习题及其解答，希望能帮助大家加深对相关知识点的理解。
一、复数的基本运算
习题1：设复数 $ z_1 = 3 + 4i $ 和 $ z_2 = 1 - 2i $，求 $ z_1 \cdot z_2 $。
解答：
$$
z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 - 2i) = 3 \cdot 1 + 3 \cdot (-2i) + 4i \cdot 1 + 4i \cdot (-2i)
$$
$$
= 3 - 6i + 4i - 8i^2 = 3 - 2i + 8 = 11 - 2i
$$
因此，$ z_1 \cdot z_2 = 11 - 2i $。
二、解析函数的判定
习题2：判断函数 $ f(z) = x^2 - y^2 + i(2xy) $ 是否为解析函数，并给出其导数。
解答：
首先验证柯西-黎曼条件：
$$
\frac{\partial u}{\partial x} = 2x, \quad \frac{\partial v}{\partial y} = 2x
$$
$$
\frac{\partial u}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial v}{\partial x} = 2y
$$
显然，$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} $ 且 $ \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} $，满足柯西-黎曼条件，因此 $ f(z) $ 是解析函数。
接下来计算导数：
$$
f'(z) = \frac{\partial u}{\partial x} + i\frac{\partial v}{\partial x} = 2x + i(2y) = 2(x + iy) = 2z
$$
所以，$ f'(z) = 2z $。
三、傅里叶变换的应用
习题3：求函数 $ f(t) = e^{-at}u(t) $ 的傅里叶变换，其中 $ u(t) $ 是单位阶跃函数，$ a > 0 $。
解答：
傅里叶变换定义为：
$$
F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-j\omega t}dt
$$
代入 $ f(t) = e^{-at}u(t) $：
$$
F(\omega) = \int_{0}^\infty e^{-at}e^{-j\omega t}dt = \int_{0}^\infty e^{-(a+j\omega)t}dt
$$
这是一个指数积分，结果为：
$$
F(\omega) = \left[ \frac{e^{-(a+j\omega)t}}{-(a+j\omega)} \right]_0^\infty = \frac{1}{a+j\omega}
$$
因此，傅里叶变换为：
$$
F(\omega) = \frac{1}{a+j\omega}
$$
以上是几个典型的习题及解答，希望对大家的学习有所帮助。复变函数与积分变换是一门理论性和应用性都很强的学科，掌握好这些基本概念和技巧对于后续更深入的学习至关重要。如果有任何疑问或需要进一步解释的地方，请随时提问！
