【线性代数卢刚版高教第二版课后答案习题四答案】在学习线性代数的过程中，习题练习是巩固知识、提高解题能力的重要环节。对于《线性代数》（卢刚版，高等教育出版社第二版）的读者来说，掌握每章课后习题的解答方法和思路尤为重要。特别是第四章内容，涉及矩阵的秩、向量组的线性相关性以及矩阵的等价变换等关键知识点，这些内容不仅是考试的重点，也是后续学习的基础。
为了帮助同学们更好地理解与掌握第四章的相关知识，以下是对该章节部分典型习题的详细解答与分析，旨在提供清晰的解题思路，便于大家在复习或预习时参考。
一、习题四主要内容概述
第四章主要围绕以下几个核心概念展开：
1. 矩阵的秩：矩阵的行秩、列秩以及矩阵的秩的求法。
2. 向量组的线性相关性：判断一组向量是否线性相关或线性无关。
3. 矩阵的等价变换：通过初等变换将矩阵化为标准形式，如行最简形或阶梯形。
4. 矩阵与向量组的关系：矩阵的列向量组与矩阵的秩之间的关系。
二、典型习题解析
例题1：求矩阵的秩
设矩阵 A =
[ 1 2 3 ]
[ 2 4 6 ]
[ 1 3 5 ]
解题思路：
对矩阵进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵，观察非零行的个数即为矩阵的秩。
- 第一步：用第一行减去第三行，得到新的第三行：[0, -1, -2]
- 第二步：第二行减去两倍的第一行，得到新的第二行：[0, 0, 0]
最终得到的行阶梯形矩阵为：
[ 1 2 3 ]
[ 0 -1-2 ]
[ 0 0 0 ]
因此，矩阵 A 的秩为 2。
例题2：判断向量组的线性相关性
给定向量组 α₁ = (1, 2, 3), α₂ = (2, 4, 6), α₃ = (1, 3, 5)
解题思路：
将这三个向量作为列向量组成一个矩阵，并计算其秩。若秩小于向量个数，则说明向量组线性相关。
构造矩阵 B =
[ 1 2 1 ]
[ 2 4 3 ]
[ 3 6 5 ]
对矩阵 B 进行初等行变换：
- 第二行减去两倍的第一行：[0, 0, 1]
- 第三行减去三倍的第一行：[0, 0, 2]
继续化简，最终得到行阶梯形矩阵为：
[ 1 2 1 ]
[ 0 0 1 ]
[ 0 0 0 ]
矩阵 B 的秩为 2，而向量个数为 3，因此该向量组线性相关。
三、总结与建议
第四章的内容虽然抽象，但只要掌握了矩阵的秩、向量组的线性相关性以及矩阵的等价变换等基本概念，就能较为轻松地应对各类题目。建议同学们在做题过程中注重以下几点：
1. 多做练习：通过大量练习加深对知识点的理解。
2. 理解定义：准确把握“线性相关”、“线性无关”、“矩阵的秩”等概念的定义。
3. 结合图形理解：适当借助几何直观帮助理解向量空间中的线性关系。
通过不断积累与反思，相信同学们能够在这门课程中取得优异的成绩，并为后续的学习打下坚实的基础。
