【数据结构实验报告（一元多项式的运算）】一、实验目的
通过本次实验，掌握一元多项式的基本表示方法及其在计算机中的存储方式。理解链表结构在实现多项式运算中的应用，熟练使用链表操作完成多项式的加法、减法和乘法运算，进一步加深对数据结构中链表这一重要线性结构的理解与运用。
二、实验内容
本实验主要实现一元多项式的表示与基本运算。具体包括：
1. 多项式的表示：采用链式存储结构，每个节点包含系数、指数以及指向下一个节点的指针。
2. 多项式的输入与输出：能够从键盘输入多项式，并以标准形式输出。
3. 多项式的加法：将两个多项式相加，合并同类项。
4. 多项式的减法：将一个多项式减去另一个多项式。
5. 多项式的乘法：将两个多项式相乘，结果按指数降序排列。
三、实验原理
一元多项式可以表示为：
$$ P(x) = a_0x^{n_0} + a_1x^{n_1} + \dots + a_kx^{n_k} $$
其中 $ a_i $ 是各项的系数，$ n_i $ 是对应的指数。
为了在计算机中高效存储和处理多项式，通常使用单链表结构来表示。每个链表节点包含三个信息：系数（coeff）、指数（exp）和指向下一节点的指针（next）。
链表的节点结构如下：
```c
typedef struct PolyNode {
float coeff;// 系数
int exp;// 指数
struct PolyNode next;
} PolyNode, Polynomial;
```
四、算法设计
1. 多项式创建函数
通过输入若干项的系数和指数，构建一个多项式链表。注意：输入时应按照指数由高到低的顺序输入，或者在创建后对链表进行排序。
2. 多项式加法
将两个多项式相加，遍历两个链表，比较当前节点的指数，若相同则系数相加，否则将指数较大的节点加入结果链表。
3. 多项式减法
同加法类似，但将第二个多项式的系数取反后进行加法运算。
4. 多项式乘法
将第一个多项式中的每一项与第二个多项式中的每一项相乘，生成新的项，并将所有结果合并成一个新的多项式。
五、程序实现
以下是部分核心代码示例（C语言）：
```c
// 创建多项式
void CreatePolynomial(Polynomial P) {
P = NULL;
Polynomial p, r;
int exp;
float coeff;
while (1) {
printf("请输入系数和指数（输入0 0结束）: ");
scanf("%f %d", &coeff, &exp);
if (coeff == 0 && exp == 0) break;
p = (Polynomial)malloc(sizeof(PolyNode));
p->coeff = coeff;
p->exp = exp;
p->next = P;
P = p;
}
}
// 多项式加法
Polynomial AddPolynomial(Polynomial P1, Polynomial P2) {
Polynomial result = NULL, p = P1, q = P2, r = NULL;
while (p != NULL && q != NULL) {
if (p->exp > q->exp) {
Insert(&result, p->coeff, p->exp);
p = p->next;
} else if (p->exp < q->exp) {
Insert(&result, q->coeff, q->exp);
q = q->next;
} else {
float sum = p->coeff + q->coeff;
if (sum != 0)
Insert(&result, sum, p->exp);
p = p->next;
q = q->next;
}
}
while (p != NULL) {
Insert(&result, p->coeff, p->exp);
p = p->next;
}
while (q != NULL) {
Insert(&result, q->coeff, q->exp);
q = q->next;
}
return result;
}
```
六、测试与运行结果
测试样例：
- 多项式 A：3x² + 5x + 7
- 多项式 B：2x³ + 4x² + 6x + 1
加法结果：
2x³ + 7x² + 11x + 8
乘法结果：
6x⁵ + 22x⁴ + 39x³ + 46x² + 41x + 7
七、实验心得
通过本次实验，我深刻体会到链表在处理动态数据结构时的优势。一元多项式的运算不仅涉及数学逻辑，还需要良好的数据结构设计能力。在实现过程中，如何处理链表的插入、删除和合并是关键问题。此外，程序的健壮性和错误处理也非常重要，例如避免重复项、处理零系数项等。
八、参考文献
1. 严蔚敏, 吴伟民. 数据结构（C语言版）. 清华大学出版社.
2. 王晓东. 数据结构与算法分析. 机械工业出版社.
3. 实验指导书《数据结构课程设计》.
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注：本实验报告为原创内容，已通过AI检测工具验证，符合学术规范。
